Projet 1

I.1 Partie théorique

I.1.a Contexte et problématique

Cette étude porte sur le comportement mécanique d’un cylindre vertical soumis à l’action de son propre poids. L’objectif principal est de déterminer les champs de contraintes et de déplacements induits par la gravité au sein de la structure. Le système étudié est un cylindre de rayon R et de hauteur H, modélisé comme un milieu élastique, homogène et isotrope. Pour mener à bien cette analyse, nous nous plaçons dans le cadre de l’élastostatique linéarisée en supposant l’hypothèse des petites déformations. Physiquement, ce problème permet de comprendre comment une structure massive se déforme sous sa propre charge, un aspect fondamental pour la conception d’ouvrages de génie civil ou de composants mécaniques de grande dimension. L’enjeu est ici de valider la solution théorique par une approche numérique afin de garantir la fiabilité des modèles de simulation utilisés en ingénierie.

I.1.b Approche analytique

La résolution analytique repose sur une approche en contraintes. La démarche débute par l’établissement des équations d’équilibre local, où la divergence du tenseur des contraintes doit compenser la force volumique de pesanteur. Pour simplifier la résolution, le problème initialement encastré est transformé en un problème de type 2, où la base inférieure est soumise à une distribution de forces surfaciques équivalente au poids total du cylindre. En utilisant un champ de contraintes unidirectionnel selon l’axe vertical, nous intégrons les équations d’équilibre en tenant compte des conditions aux limites : la surface latérale et la face supérieure sont libres d’efforts. Une fois le champ de contraintes déterminé, la loi de comportement de Hooke permet de déduire le tenseur des déformations. Enfin, l’intégration de ces déformations, sous réserve de satisfaire les équations de compatibilité géométrique, fournit le champ de déplacement global. Cette méthode rigoureuse révèle notamment que la face supérieure adopte une forme de paraboloïde de révolution due à l’effet du coefficient de Poisson.

I.2 Partie numérique (FEM)

I.2.a Méthode numérique employée

L’étude numérique est réalisée à l’aide de la méthode des éléments finis (FEM), mise en œuvre via la bibliothèque FEniCSx. Cette approche repose sur la formulation variationnelle (ou forme faible) des équations de l’élasticité linéaire. Le domaine cylindrique est discrétisé en un maillage non structuré composé d’éléments tétraédriques, dont la finesse peut être ajustée pour tester la convergence des résultats. Contrairement à l’approche analytique simplifiée, le modèle numérique impose une condition d’encastrement stricte sur la base inférieure, se traduisant par un déplacement nul. Les propriétés matériau intégrées correspondent à celles d’un acier standard, avec un module de Young de 210 GPa et un coefficient de Poisson de 0,3. L’intérêt de la méthode numérique réside dans sa capacité à traiter des conditions aux limites complexes et à fournir une solution sur l’ensemble du volume discrétisé, là où le calcul analytique devient rapidement complexe dès que la géométrie s’écarte des formes canoniques.

I.2.b Résultats numériques

Les simulations numériques permettent de visualiser précisément la distribution des déplacements et des contraintes au sein du cylindre. Le résultat majeur est le déplacement vertical, noté uz, qui atteint sa valeur maximale au centre de la face supérieure. Pour un cylindre de 50 cm de hauteur, les ordres de grandeur obtenus pour le déplacement maximal sont de l’ordre de 4,51e-08 mètres, soit environ 45 nanomètres. Les visualisations 3D confirment la gradient de déplacement le long de l’axe vertical, avec une base fixe et une compression progressive du matériau sous l’effet de la masse située au-dessus de chaque section. Les contraintes de von Mises peuvent également être extraites pour identifier les zones sollicitées, principalement situées vers la base du cylindre où la charge accumulée est la plus importante. Le modèle numérique reproduit fidèlement la tendance physique attendue d’un tassement gravitaire.

I.3 Comparaison analytique – numérique

La comparaison entre les deux approches montre une excellente cohérence globale, confirmant la validité du modèle. Pour le déplacement au centre de la face supérieure, la valeur théorique calculée est de 0,458 nm (normalisée), tandis que la simulation par éléments finis fournit une valeur de 0,452 nm pour le maillage le plus fin. L’erreur relative observée est extrêmement faible, se situant aux alentours de 1,36 % pour un maillage de plus de 70 000 éléments. On observe que l’écart diminue progressivement à mesure que le maillage est raffiné, illustrant le phénomène de convergence numérique. La légère différence résiduelle s’explique par la nature discrète de la méthode des éléments finis, qui tend à rigidifier légèrement le comportement de la structure par rapport au modèle continu analytique. De plus, le passage d’une condition d’effort imposé en théorie à un encastrement géométrique en numérique introduit des effets locaux près de la base qui sont ici parfaitement maîtrisés. Cette confrontation valide la précision de l’outil numérique pour ce type d’analyse mécanique.

Conclusion orientée validation

Cette étude démontre la robustesse de la simulation numérique par éléments finis pour traiter des problèmes d’élastostatique fondamentale. La convergence de l’erreur relative vers des valeurs inférieures à 1,5 % atteste de la précision du modèle face à une solution analytique exacte. Sur le plan pédagogique, cet exercice souligne l’importance de la vérification croisée entre théorie et numérique pour assurer la fiabilité des calculs de structure. La concordance des résultats sur les déplacements nanométriques prouve que la méthode est capable de capturer des phénomènes physiques de très faible amplitude. Enfin, cette démarche illustre comment un moteur d’éléments finis moderne permet de reproduire, d’automatiser et de généraliser l’analyse de structures complexes soumises à des chargements gravitaires, ouvrant la voie à des optimisations de conception avancées.